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EUCLIDE – IL DESTINO DELL’UNIVERSO

LA GEOMETRIA EUCLIDEA è SBAGLIATA?

EUCLIDE -
IL DESTINO DELL' UNIVERSO

Vi è mai capitato di creare qualcosa, sia essa una canzone, una poesia o un racconto e celarla per imbarazzo? Vi sentireste meglio a scoprire che un celebre matematico russo fece la stessa cosa con una delle sue idee più rivoluzionarie…per timore di Euclide? Il matematica greco non era solito a farsi degli amici celebri, infatti sapevate di una faida filosofica fra lui ed Aristotele? Chi aveva torto? E ancora, è proprio possibile risolvere qualsiasi problema di natura geometrica con le nozioni euclidee? Avete mai sentito parlare di spazio con curvatura?  Siete proprio sicuri che due rette parallele mantengano sempre la stessa distanza o che due rette perpendicolari fra loro abbiano sempre un solo punto in comune? Se siete convinti di questo, allora direi che è ora di smascherare il darkside dietro la millenaria geometria di Euclide!

INTRODUZIONE

La geometria euclidea, per più di 2000 anni, ha avuto il primato di descrivere le misura della terra e delle cose, dopotutto qualsiasi oggetto può essere visto come combinazione di più figure geometriche piane e solide. Ma Euclide aveva assolutamente ragione?

Della vita di Euclide si hanno pochissime informazioni. Si sa che era più giovane dei discepoli di Platone ma più anziano di Archimede. Visse ad Alessandria d’Egitto, uno dei centri intellettuali più importanti del mondo greco, tra il quarto e il terzo secolo avanti Cristo ove fondò la sua scuola di matematica. Quello che davvero in pochi sanno è che Euclide smascherò una delle verità più importanti della fisica, prima di svelarvelo facciamo un passo indietro:

La matematica dei greci era molto più contemporanea e sviluppata rispetto a quella delle altre popolazioni, generata da necessità di natura empirica e commerciale. 

Il pensiero matematico ellenico è basato su un inespugnabile castello logico, ricco di astrazioni e deduzioni, che trasforma le nozioni in una vera e propria scienza organica.  

L’onore l’onere e di formalizzare tutto il sapere matematico creato nei secoli precedenti ricaddero su Euclide che con il suo lavoro più importante, gli Elementi, gettò le basi per la concezione logica della matematica.

Con ogni probabilità questa raccolta è l’opera scientifica più importante della storia e seconda, nella letteratura mondiale, solamente alla Bibbia. Fu la base della formazione di scienziati del calibro di Cartesio e Newton e viene insegnata ancora oggi nel biennio delle scuole superiori.

Euclide scrisse anche altre opere, di argomentazioni matematiche e fisiche. All’interno di questi trattati analizza l’astronomia, l’armonia musicale, lo studio delle leve e i fenomeni ottici.

È proprio nello studio dell’ottica, in particolare nello studio della rifrazione, che Euclide smaschera una delle verità più importanti della fisica: la natura vuole che il percorso seguito dal raggio luminoso sia proprio quello più breve. È con questa elegante dimostrazione che Euclide formalizza il “principio del minimo cammino” ossia le leggi della natura procedono per minimi e ciò vuol dire che una qualsiasi grandezza fisica coinvolta in un fenomeno, come ad esempio il tempo o l’energia deve essere la più piccola possibile. Questo semplice ma fondamentale concetto ebbe un’incredibile ripercussione su tutte le formulazioni fisico-chimiche degli scienziati dei millenni successivi.

LA STRUTTURA DEGLI ELEMENTI

Ritorniamo agli elementi. I libri sono eredi degli insegnamenti di Platone e Aristotele ma si può affermare con certezza che il testo di Euclide sia essenzialmente Aristotelico. Il filosofo fissò infatti il costrutto grammaticale con cui si stabiliscono le leggi scientifiche:

 “se A allora B” dove A è l’ipotesi e B è la tesi.

Partendo da un breve elenco di ipotesi Euclide procede alla dimostrazione deduttiva diretta o alla dimostrazione per assurdo di una lunga serie di proposizioni: questo processo dà all’edificio euclideo una solidità all’apparenza inespugnabile.

Secondo la tradizione i libri originali degli Elementi sono 13, scritti nella lingua comune, la koinè, a cui si aggiungono due libri apocrifi.

I tredici libri di Euclide contengono 140 assunti basilari, 465 proposizioni, 19 porismi e 16 lemmi. I principali argomenti trattati riguardano i triangoli, i prodotti notevoli e il calcolo di aree e volumi.

Nei libri non sono compresi tutti i risultati geometrici conosciuti, ma solo quelli che fanno da presupposto ad ulteriori sviluppi. L’opera di Euclide assume dunque un altissimo valore didattico, la fruibilità del trattato è accentuata dal fatto che gli unici strumenti utilizzati per la costruzione delle figure geometriche sono soltanto riga e compasso: vale a dire che tutte le figure vengono costruite esclusivamente dalla combinazione di segmenti rettilinei e circonferenze.

Da quel momento in poi solo comprendendo gli Elementi sarà possibile comprendere il resto della scienza.

ALTRI RISULTATI DEGLI ELEMENTI

Tra i risultati di spicco degli Elementi sono presenti:

–        Il Tangram: un metodo cinese per disegnare forme diverse ma equivalenti, tale metodo permise ad Euclide di dimostrare il teorema di Pitagora e risolvere problemi millenari ereditati dai popoli mesopotamici. 

–        Il Metodo di Esaustione: è un procedimento utile a calcolare le aree delle figure geometriche mistilinee, vale a dire con almeno un tratto curvilineo. Consiste nella costruzione di una successione di poligoni inscritti e circoscritti che convergono nella figura data. L’area della figura ricercata sarà compresa fra l’area della figura inscritta e l’area della figura circoscritta. Euclide applicò questo procedimento per enunciare diverse proposizioni sulla circonferenza. È lo stesso metodo che, tempo dopo, Archimede usò per svolgere la quadratura della parabola.

–        Sono da citare inoltre la regola per determinare il massimo comune divisore e il crivello di Eratostene, fino a poco tempo fa il metodo principale usato per identificare i numeri primi.

L’INFINITO

Veniamo ora alla faida filosofica che vi avevo promesso di illustrare:

 tra i concetti oscuri presenti negli Elementi c’è quello dell’infinito, Aristotele sosteneva che nessun oggetto può considerarsi infinito. Euclide, al contrario, si avvale dell’esistenza dell’infinito soprattutto quando utilizza frasi del tipo “si tracci un segmento rettilineo lungo quanto si voglia” oppure quando usa l’avverbio “illimitatamente”.

Pensando a infinito viene subito in mente uno degli enti geometrici fondamentali: la retta. Euclide, in realtà,  non spiegò mai che cos’è una retta, ma chiarì solamente che le rette sono finite e che hanno per estremi dei punti: A dispetto di ciò che si pensa, Euclide si riferiva a segmenti rettilinei che si possono prolungare quanto serve.

È certo che il pensiero aristotelico toglie qualcosa al lavoro matematico: si è dovuto attendere più di due millenni con i numeri transfiniti di Cantor affinché la matematica abbracciasse pienamente il concetto di infinito, mettendo fine al limitante pensiero aristotelico.

LA GEOMETRIA DELL’UNIVERSO

Il vaso di pandora della geometria però non è legato al concetto di infinito ma al quinto postulato del primo libro degli Elementi: il postulato delle rette parallele, che nella rielaborazione moderna dice che:

“per un punto esterno a una retta si può tracciare una e una sola retta parallela alla retta data.”

Il postulato delle parallele, però, non si desume da nessun’altra proposizione, come se fosse “staccato” dal resto dell’opera.

È molto semplice pensare che su un piano due rette parallele assegnate mantengono sempre la stessa distanza.

Se però trasformiamo il piano Euclideo in una sorta sella di cavallo le due rette parallele non mantengono più la stessa distanza, ma anzi divergono.

Ecco che in questo modo si affermano due verità contraddittorie, già che due rette parallele non possono avere contemporaneamente la stessa distanza e non averla.

Possiamo fare un altro esempio immaginando due rette perpendicolari su un piano, come è noto queste avranno un solo punto in comune.

Se adesso “appallottoliamo” il piano euclideo fino a farlo diventare una sfera, le due rette perpendicolari non avranno più un solo punto in comune bensì due!

Anche questa volta si affermano due verità contraddittorie. 

Il costrutto Euclideo viene intaccato quando, nel 1829, un articolo di Lobacevskij, segnò la nascita ufficiale della geometria non euclidea. In quest’opera, lo studioso rende pubblica la prima geometria costruita su un’ipotesi che contraddiceva il postulato delle rette parallele. Tuttavia lo status del geometra greco era talmente maestoso che il matematico russo decise di non dare troppo peso alla sua nuova geometria tanto che, quasi vergognandosene, per i primi anni si riferì a essa con l’appellativo di immaginaria, riscrivendola almeno tre volte nel corso di venti anni.

Parallelamente a Lobacevskij, altre grandi menti dell’epoca, compreso Gauss, arrivarono a dire che il postulato delle parallele non si desumeva dal resto dell’opera ma contraddire il grande Euclide sarebbe stato un suicidio professionale e intellettuale.

Per l’affermazione delle geometrie non euclidee si dovette aspettare il lavoro del matematico tedesco Bernhard Riemann il quale, con grande eleganza, dimostrò che lo spazio euclideo è un caso particolare di spazio con curvatura costante di valore nullo. Ve ne sono altri due: se la curvatura è positiva allora lo spazio è ellittico, se la curvatura è negativa allora spazio è iperbolico.

Nel ventesimo secolo arrivano ulteriori conferme dal mondo della fisica: nella teoria della relatività generale, Einstein stabilisce che, in presenza di grandi masse o di grandi energie, il reticolo spaziale e le rette che lo compongono si deformano curvandosi.

Ma allora qual è la geometria dell’universo tanto ricercata da Euclide?

La risposta va cercata al di fuori della matematica. Nel 1981 il fisico statunitense Alan Guth introdusse il concetto di “densità dell’universo”, definito come il rapporto di massa di materia per unità di volume. Esiste un valore critico d*=4×10^(-27) kg/m^3 che determina la natura geometrica dell’universo, nonché la sua evoluzione futura:

–        Se d>d* allora la geometria dell’universo è ellittica ed è destinato al collasso

–        Se d=d* allora la geometria dell’universo è piana ed è destinato ad un’espansione dolce

–        Se d<d* allora la geometria dell’universo è iperbolica ed è destinato ad un’espansione violenta

La densità calcolata finora ammonta ad un 10% della densità critica e da questa deduzione l’universo pare sia iperbolico e che si espanda violentemente.

TRASMISSIONE ED EPILOGO

La geometria di Euclide, che è quella che tutti conosciamo, non è dunque vera in senso assoluto. Tuttavia gli Elementi raccolgono brillantemente tre secoli di pensiero matematico greco e millenni di intuizioni geometriche. Pari all’opera del geometra nella cultura ellenistica, ci sono solo le opere di Omero, Platone e Aristotele

La geometria di Euclide viene oggi trasmessa a seguito della rielaborazione, alla fine del 19esimo secolo, del geniale matematico prussiano David Hilbert, il quale, con i suoi Fondamenti della Geometria, modernizzò la geometria euclidea.

Le opere illustri dei grandi sapienti dell’umanità sono la sintesi dei contributi dei loro predecessori e del proprio apporto personale, frutto della riflessione e del genio creativo: questo fu il caso di Euclide.

Eccoci arrivati alla fine di questo articolo, spero che vi sia piaciuto! Vi hanno schockato queste rivelazioni? Riuscite a immaginare uno spazio con curvatura? Cosa ne pensate? Fatemelo sapere nei commenti!

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